Josef Klimeš se narodil 15. ledna 1928 v Měříně, byl soukromým žákem Karla Lidického, v letech 1949 až 1954 studoval na Akademii výtvarného umění v ateliéru Jana Laudy. O čtyři roky později byl oceněn za svou plastiku nazvanou Každý má právo na vzdělání vytvořenou pro vstupní halu československého pavilonu na bruselské výstavě Expo.
Josef Klimeš je také autorem betonové plastiky Křídlo na průčelí hotelu President v centru Prahy (1988), mramorových Vlasů ve větru (1981) na Bulovce, mramorové busty Jiřího Trnky na Barrandově (1982), Vltavy – negativního reliéfu vodního toku na stěně a dvou pylonech na Filsakových domech v Dělnické ulici v Holešovicích.
Asi nejznámější je betonová plastika Rovnováha na branické straně Barrandovského mostu i podobně monumentální zastřešení schodiště na opačné straně mostu přezdívané Bazének pro hrochy nebo Krmítko pro slony z roku 1989.
Další Klimešova díla dotvářejí pražskou Františkánskou zahradu, stanici pražského metra Holešovice (Řeka, 1984) nebo třeba hotel Thermal v Karlových varech. Jeho bronzová socha Pohár byla v roce 1990 vybrána jako dar papeži Janu Pavlu II. při jeho první návštěvě Prahy. Vedle betonu, kovu a dřeva Klimeš pracoval i se sádrou, hlínou kamenem, také tepal portréty do měděného plechu.
Před nedávnem se od veřejného prostoru, konkrétně před hotelovou školu ve Svídnické v Praze 8 vrátila jeho plastika Otisk letícího ptáka, která, vyvedena z dusaného bílého betonu před dvaatřiceti lety, potřebovala už restaurátorský zásah.
Svůj ateliér měl Josef Klimeš v dejvické Koulově ulici.
Poslední rozloučení s Josefem Klimešem bude v pátek 19. ledna dopoledne v kostele v pražských Nebušicích. Na zdejším lesním hřbitově bude pochován.